Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Bước 3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Bước 4.2

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Bước 4.4

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, u, 1$

Bước 4.4.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 4.4.2

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{1}{u} = 2 y$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $u + \frac{1}{u} = 2 y$ với $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Bước 4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Bước 4.4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Bước 4.4.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Bước 4.4.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Trừ $2 y u$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Bước 4.4.3.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.4.3.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2 y$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.1

Viết lại $4 \cdot 1 \cdot 1$ ở dạng ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = - 2 y$ và $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.2

Nhân $1$ với $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.3.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.5

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.6

Viết lại $4 (- y + 1) (- y - 1)$ ở dạng $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.4.1.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.6.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.4.3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Bước 4.4.3.4.3

Rút gọn $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Bước 4.4.3.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Bước 4.5

Thay $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Bước 4.6

Giải $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Bước 4.6.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.6.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.6.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.6.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.7

Thay $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Bước 4.8

Giải $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Bước 4.8.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.8.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.8.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.8.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Bước 4.9

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$