Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$ không xác định.

$x = 3$

Bước 2

Xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 3

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Bước 4

Vì $n > m$ , nên không có tiệm cận ngang.

Không có các tiệm cận ngang

Bước 5

Tìm tiệm cận xiên bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Phân tích $x^{2} + 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 1, 3$

Bước 5.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 3}$

Bước 5.2

Khai triển $(x - 1) (x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3)}{x - 3}$

Bước 5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{x - 3}$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $3$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 1 x - 1 \cdot 3}{x - 3}$

Bước 5.2.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 1 x - 3}{x - 3}$

Bước 5.2.10

Trừ $1 x$ khỏi $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3}$

Bước 5.3

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

Bước 5.4

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Bước 5.5

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	-	$3 x$

Bước 5.6

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} - 3 x$

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$

Bước 5.7

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$

Bước 5.8

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$

Bước 5.9

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$

Bước 5.10

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					+	$5 x$	-	$15$

Bước 5.11

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x - 15$

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					-	$5 x$	+	$15$

Bước 5.12

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$5 x$	-	$3$
					-	$5 x$	+	$15$
							+	$12$

Bước 5.13

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$x + 5 + \frac{12}{x - 3}$

Bước 5.14

Tiệm cận xiên là phần đa thức của kết quả của phép chia số lớn.

$y = x + 5$

Bước 6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = 3$

Không có các tiệm cận ngang

Các tiệm cận xiên: $y = x + 5$

Bước 7