Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $3 (1 - \cos (- θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $\cos (- θ)$ là một hàm chẵn, nên viết lại $\cos (- θ)$ ở dạng $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Bước 1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Bước 1.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Bước 1.1.3.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Bước 2

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Bước 2.2

Cộng $3 \cos (θ)$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 3

Thay thế $2 \sin^{2} (θ)$ bằng $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 5

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Bước 6

Sắp xếp lại đa thức.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Bước 7

Thay $u$ bằng $\cos (θ)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Bước 8

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Bước 8.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Bước 8.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 8.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 8.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Bước 8.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ và có tổng là $b = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1$ cộng $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Bước 8.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Bước 8.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Bước 8.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Bước 8.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Bước 8.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Bước 9

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Bước 10

Đặt $2 u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $2 u - 1$ bằng với $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Bước 10.2

Giải $2 u - 1 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 u = 1$

Bước 10.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 u = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 10.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Bước 11

Đặt $u - 1$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $u - 1$ bằng với $0$ .

$u - 1 = 0$

Bước 11.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 1$

Bước 12

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ đúng.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Bước 13

Thay $\cos (θ)$ bằng $u$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Bước 14

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Bước 15

Giải tìm $θ$ trong $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Bước 15.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 15.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 15.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 15.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 15.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 15.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Bước 15.5

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15.6

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Giải tìm $θ$ trong $\cos (θ) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (1)$

Bước 16.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$θ = 0$

Bước 16.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - 0$

Bước 16.4

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$θ = 2 π$

Bước 16.5

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 16.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 16.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 16.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 16.6

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 17

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 18

Hợp nhất $2 π n$ và $2 π + 2 π n$ để $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$