Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = - 2$ và $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $4$ với $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Bước 4.3.3

Cộng $12$ và $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Bước 4.3.4

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Bước 4.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 4$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = \frac{2 π}{3}$ và $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$