Giải tích sơ cấp Ví dụ

$e^{x} + 2 = 8 e^{- x}$

Bước 1

Trừ $8 e^{- x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{x} + 2 - 8 e^{- x} = 0$

Bước 2

Viết lại $e^{- x}$ dưới dạng số mũ.

$e^{x} + 2 - 8 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Bước 3

Thay $u$ bằng $e^{x}$ .

$u + 2 - 8 u^{- 1} = 0$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 2 - 8 \frac{1}{u} = 0$

Bước 4.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{u}$ .

$u + 2 + \frac{- 8}{u} = 0$

Bước 4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u + 2 - \frac{8}{u} = 0$

Bước 5

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, 1, u, 1$

Bước 5.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$u$

Bước 5.2

Nhân mỗi số hạng trong $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ với $u$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $u + 2 - \frac{8}{u} = 0$ với $u$ .

$u \cdot u + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nhân $u$ với $u$ .

$u^{2} + 2 u - \frac{8}{u} u = 0 u$

Bước 5.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{8}{u}$ vào tử số.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Bước 5.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{2} + 2 u + \frac{- 8}{u} u = 0 u$

Bước 5.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u^{2} + 2 u - 8 = 0 u$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $0$ với $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Phân tích $u^{2} + 2 u - 8$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 8$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 2, 4$

Bước 5.3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Bước 5.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Bước 5.3.3

Đặt $u - 2$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đặt $u - 2$ bằng với $0$ .

$u - 2 = 0$

Bước 5.3.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 2$

Bước 5.3.4

Đặt $u + 4$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đặt $u + 4$ bằng với $0$ .

$u + 4 = 0$

Bước 5.3.4.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 4$

Bước 5.3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 2) (u + 4) = 0$ đúng.

$u = 2, - 4$

Bước 6

Thay $2$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Bước 7

Giải $2 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Bước 7.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Bước 7.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Khai triển $\ln (e^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Bước 7.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Bước 7.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x = \ln (2)$

Bước 8

Thay $- 4$ cho $u$ trong $u = e^{x}$ .

$- 4 = e^{x}$

Bước 9

Giải $- 4 = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{x} = - 4$ .

$e^{x} = - 4$

Bước 9.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Bước 9.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 4)$ không xác định.

Không xác định

Bước 9.4

Không có đáp án nào cho $e^{x} = - 4$

Không có đáp án

Bước 10

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \ln (2)$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \ln (2)$

Dạng thập phân:

$x = 0.69314718 \dots$