Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{5} - 25 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 2.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 2.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 3

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Bước 5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

Bước 6

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

Bước 7

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ và có tổng là $b = - 79$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- 79$ ra ngoài $- 79 u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

Bước 7.1.2

Viết lại $- 79$ ở dạng $- 4$ cộng $- 75$

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

Bước 7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

Bước 7.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

Bước 7.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

Bước 7.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

Bước 9

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

Bước 10

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Bước 11

Đưa $(x + 5) (x - 5)$ ra ngoài $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $(x + 5) (x - 5)$ ra ngoài $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Bước 11.2

Đưa $(x + 5) (x - 5)$ ra ngoài $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

Bước 11.3

Đưa $(x + 5) (x - 5)$ ra ngoài $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

Bước 12

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Phân tích $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Bước 12.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Bước 12.1.1.3

Thay $1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.3.1

Thay $1$ vào đa thức.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Bước 12.1.1.3.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Bước 12.1.1.3.3

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Bước 12.1.1.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 - 4$

Bước 12.1.1.3.5

Cộng $1$ và $3$ .

$4 - 4$

Bước 12.1.1.3.6

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$0$

Bước 12.1.1.4

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Bước 12.1.1.5

Chia $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ cho $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 12.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Bước 12.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 12.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 12.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Bước 12.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 12.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 12.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Bước 12.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Bước 12.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Bước 12.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Bước 12.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Bước 12.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Bước 12.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Bước 12.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Bước 12.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + 4 x + 4$

Bước 12.1.1.6

Viết $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

Bước 12.1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

Bước 12.1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 12.1.2.3

Viết lại đa thức này.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Bước 12.1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

Bước 12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$