Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Bước 1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\csc^{2} (x) = 1$

Bước 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Bước 3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Bước 4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\csc (x) = 1$

Bước 4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\csc (x) = - 1$

Bước 4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\csc (x) = 1, - 1$

Bước 5

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Bước 6

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (1)$

Bước 6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.3

Hàm cosecant dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - \frac{π}{2}$

Bước 6.4

Rút gọn $π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Bước 6.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.6

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Giải tìm $x$ trong $\csc (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy cosecant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong cosecant.

$x = arccsc (- 1)$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $arccsc (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 7.4.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 7.5

Tìm chu kỳ của $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{2}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Bước 7.6.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.6.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 7.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Bước 7.6.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 7.6.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 7.7

Chu kỳ của hàm $\csc (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $(0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Bước 10.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 10.1.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 10.2

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $(0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Bước 10.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Bước 10.2.2.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Bước 10.2.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Bước 10.2.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Bước 10.2.2.4.2

Cộng $π$ và $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Bước 10.2.3

Khoảng $(0, 2 π)$ chứa $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$