Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Bước 1

Thay $u$ bằng $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Bước 2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 2.3

Viết lại đa thức này.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Bước 3

Đặt $u + 1$ bằng $0$ .

$u + 1 = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$u = - 1$

Bước 5

Thay $\cos (x)$ bằng $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Bước 6

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 8

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 9

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 10

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 10.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 10.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π]$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$π + 2 π (0)$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$π + 0 π$

Bước 12.2.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$π + 0$

Bước 12.2.2

Cộng $π$ và $0$ .

$π$

Bước 12.3

Khoảng $[0, 2 π]$ chứa $π$ .

$x = π$