Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$

Bước 1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} + y^{2})}^{1} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.3.1.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} = \frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}$

Bước 3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{64}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}} - x^{2}}$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{8^{2}}{{(16 + 125 \sin (x))}^{2}}$ ở dạng ${(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)})}^{2} - x^{2}}$

Bước 3.3.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{8}{16 + 125 \sin (x)}$ và $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

$y = - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$

Bước 4

Để viết lại dưới dạng hàm số của $x$ , hãy viết phương trình sao cho $y$ nằm ở một phía của dấu bằng và một biểu thức chỉ chứa $x$ ở phía còn lại.

$f (x) = \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}, - \sqrt{(\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} + x) (\frac{8}{16 + 125 \sin (x)} - x)}$