Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ không xác định.

$x = - 5, x = 1$

Bước 2

Vì $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $- 5$ từ phía bên trái và $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- 5$ từ phía bên phải, thì $x = - 5$ là một tiệm cận đứng.

$x = - 5$

Bước 3

Vì $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $1$ từ phía bên trái và $\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $1$ từ phía bên phải, thì $x = 1$ là một tiệm cận đứng.

$x = 1$

Bước 4

Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng:

$x = - 5, 1$

Bước 5

Xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 6

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Bước 7

Vì $n > m$ , nên không có tiệm cận ngang.

Không có các tiệm cận ngang

Bước 8

Tìm tiệm cận xiên bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Phân tích $x^{2} + 4 x - 5$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 5$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 1, 5$

Bước 8.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{5 x^{3} - 4}{(x - 1) (x + 5)}$

Bước 8.2

Khai triển $(x - 1) (x + 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x (x + 5) - 1 (x + 5)}$

Bước 8.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5)}$

Bước 8.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x \cdot x + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{1 + 1} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 1 \cdot 5}$

Bước 8.2.9

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 5 x - 1 x - 5}$

Bước 8.2.10

Trừ $1 x$ khỏi $5 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 4}{x^{2} + 4 x - 5}$

Bước 8.3

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 8.4

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 8.5

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Bước 8.6

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x^{3} + 20 x^{2} - 25 x$

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

Bước 8.7

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

Bước 8.8

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$5 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

Bước 8.9

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 20 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$

Bước 8.10

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							-	$20 x^{2}$	-	$80 x$	+	$100$

Bước 8.11

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 20 x^{2} - 80 x + 100$

$5 x$

$20$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$5 x^{3}$

$20 x^{2}$

$25 x$

$20 x^{2}$

$25 x$

$4$

$20 x^{2}$

$80 x$

$100$

Bước 8.12

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$5 x$	-	$20$
$x^{2}$	+	$4 x$	-	$5$		$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
					-	$5 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$25 x$
							-	$20 x^{2}$	+	$25 x$	-	$4$
							+	$20 x^{2}$	+	$80 x$	-	$100$
									+	$105 x$	-	$104$

Bước 8.13

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$5 x - 20 + \frac{105 x - 104}{x^{2} + 4 x - 5}$

Bước 8.14

Tiệm cận xiên là phần đa thức của kết quả của phép chia số lớn.

$y = 5 x - 20$

Bước 9

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - 5, 1$

Không có các tiệm cận ngang

Các tiệm cận xiên: $y = 5 x - 20$

Bước 10