Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{6} - 72 x^{3} + 512 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 72 x^{3} + 512 = 0$

Bước 1.2

Giả sử $u = x^{3}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{3}$ .

$u^{2} - 72 u + 512 = 0$

Bước 1.3

Phân tích $u^{2} - 72 u + 512$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $512$ và tổng của chúng là $- 72$ .

$- 64, - 8$

Bước 1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 64) (u - 8) = 0$

Bước 1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$(x^{3} - 64) (x^{3} - 8) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{3} - 64 = 0$

$x^{3} - 8 = 0$

Bước 3

Đặt $x^{3} - 64$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $x^{3} - 64$ bằng với $0$ .

$x^{3} - 64 = 0$

Bước 3.2

Giải $x^{3} - 64 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $64$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = 64$

Bước 3.2.2

Trừ $64$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 64 = 0$

Bước 3.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Bước 3.2.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Bước 3.2.3.3.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Bước 3.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Bước 3.2.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 3.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 3.2.6

Đặt $x^{2} + 4 x + 16$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đặt $x^{2} + 4 x + 16$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Bước 3.2.6.2

Giải $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.2.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 4$ , và $c = 16$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.3

Trừ $64$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.4

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (48)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.7

Viết lại $48$ ở dạng $4^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.3.1.7.1

Đưa $16$ ra ngoài $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.7.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.1.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3.2.6.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Bước 3.2.6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Bước 3.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ đúng.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Bước 4

Đặt $x^{3} - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x^{3} - 8$ bằng với $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Bước 4.2

Giải $x^{3} - 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = 8$

Bước 4.2.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 8 = 0$

Bước 4.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Bước 4.2.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Bước 4.2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Bước 4.2.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Bước 4.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Bước 4.2.5

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 4.2.5.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4.2.6

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Đặt $x^{2} + 2 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Bước 4.2.6.2

Giải $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.2.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.2.6.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 4.2.6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 4.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x^{3} - 64) (x^{3} - 8) = 0$ đúng.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Bước 6