Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Bước 1

Đặt $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ bằng với $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x^{3} + 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.2.3

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Bước 2.1.6

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Bước 2.1.7

Phân tích $u^{2} - 15 u + 54$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $54$ và tổng của chúng là $- 15$ .

$- 9, - 6$

Bước 2.1.7.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Bước 2.1.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Bước 2.1.9

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Bước 2.1.10

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Bước 2.1.11

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.11.1

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Bước 2.1.11.2

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Bước 2.1.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 2.4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.5

Đặt $x^{2} - 2 x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x^{2} - 2 x - 6$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - 6$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.3

Cộng $4$ và $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.4

Viết lại $28$ ở dạng $2^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.5.2.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Bước 2.5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ đúng.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Dạng thập phân:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Bước 4