Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Bước 1

Đặt $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ bằng với $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.2.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.4

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.5

Phân tích $u^{2} - 3 u - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 4, 1$

Bước 2.1.5.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.8

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.9

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Bước 2.1.9.2

Đưa $3$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Bước 2.1.9.3

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Bước 2.1.9.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Bước 2.1.9.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.1.10

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.1.11

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Bước 2.1.12

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Bước 2.1.12.1.2

Viết lại $3$ ở dạng $- 1$ cộng $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Bước 2.1.12.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Bước 2.1.12.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Bước 2.1.12.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Bước 2.1.12.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Bước 2.1.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Bước 2.1.14

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Bước 2.1.15

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.15.1.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Bước 2.1.15.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 2.1.15.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 2.1.16

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.16.1

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 2.1.16.2

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.16.3

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.17

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.18

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.18.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.18.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.18.2

Cộng $1$ và $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.19

Nhân $x$ với $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Bước 2.1.20

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Bước 2.1.21

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Bước 2.1.22

Nhân $3$ với $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Bước 2.1.23

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Bước 2.1.24

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1

Viết lại $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.24.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Bước 2.1.24.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Bước 2.1.24.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Bước 2.1.24.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 2.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.6

Đặt $x^{2} + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x^{2} + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $x^{2} + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 1$

Bước 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 2.6.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 2.6.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 2.6.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 2.6.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ đúng.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Bước 3