Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Bước 1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1 = 0$

Bước 2

Rút gọn $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) - 1 = 0$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Khai triển $(x - 1) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Bước 2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Bước 2.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Bước 2.2.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Bước 2.2.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Bước 2.2.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Bước 2.2.2.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) - 1 = 0$

Bước 2.2.2.2

Trừ $x$ khỏi $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) - 1 = 0$

Bước 3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Bước 4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Bước 5

Viết lại $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 2 = e$

Bước 6.2

Trừ $e$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Bước 6.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = - 2 - e$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.5

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.6

Cộng $1$ và $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.5

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.6

Cộng $1$ và $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.6.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Bước 6.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Bước 6.6.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.4

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.5

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.6

Cộng $1$ và $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.7.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Bước 6.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Bước 6.7.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 6.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Dạng thập phân:

$x = 1.72896429 \dots, - 2.72896429 \dots$