Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

Bước 1

Trừ $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{3}{2}$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Bước 3

Thay thế $\tan^{2} (x)$ bằng $\sec^{2} (x) - 1$ dựa trên đẳng thức $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Bước 4

Sắp xếp lại đa thức.

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

Bước 5

Thay $u$ bằng $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

Bước 6

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 u}{2}$ vào tử số.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 6.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Bước 7

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 8

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 3$ , và $c = - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.3

Cộng $9$ và $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 9.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Bước 10

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.1.3

Cộng $9$ và $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.1.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 10.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Bước 10.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Bước 10.4

Cộng $3$ và $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Bước 10.5

Chia $8$ cho $4$ .

$u = 2$

Bước 11

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.1.3

Cộng $9$ và $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.1.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 11.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Bước 11.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Bước 11.4

Trừ $5$ khỏi $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Bước 11.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Bước 11.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 11.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Bước 11.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{- 1}{2}$

Bước 11.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1}{2}$

Bước 12

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Bước 13

Thay $\sec (x)$ bằng $u$ .

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

Bước 14

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 15

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (2)$

Bước 15.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Giá trị chính xác của $arcsec (2)$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 15.3

Hàm secant dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 15.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 15.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 15.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 15.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 15.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 15.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 15.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 15.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 15.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 15.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 16

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Khoảng biến thiên của secant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $- \frac{1}{2}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 17

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$