Giải tích sơ cấp Ví dụ

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Bước 1

Viết lại $5^{x + 1}$ ở dạng $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Bước 2

Viết lại $5^{2 x}$ ở dạng ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Bước 3

Giả sử $u = 5^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $5^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính số mũ.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Bước 3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Bước 4

Phân tích $u^{2} + 5 u - 24$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 24$ và tổng của chúng là $5$ .

$- 3, 8$

Bước 4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Bước 7

Đặt $5^{x} - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $5^{x} - 3$ bằng với $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Bước 7.2

Giải $5^{x} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = 3$

Bước 7.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Bước 7.2.3

Khai triển $\ln (5^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Bước 7.2.4

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (3)$ cho $\ln (5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (5) = \ln (3)$ cho $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 7.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 7.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Bước 8

Đặt $5^{x} + 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $5^{x} + 8$ bằng với $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Bước 8.2

Giải $5^{x} + 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5^{x} = - 8$

Bước 8.2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Bước 8.2.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (- 8)$ không xác định.

Không xác định

Bước 8.2.4

Không có đáp án nào cho $5^{x} = - 8$

Không có đáp án

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ đúng.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$