Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Bước 1

Để viết $2 y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Bước 2

Kết hợp $2 y^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Bước 3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Bước 4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Bước 4.2

Viết lại $4 y^{2}$ ở dạng ${(2 y)}^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Bước 4.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Bước 4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 y$ và $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 5

Để viết $- y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 6

Kết hợp $- y$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 8.2

Khai triển $(2 y + 1) (2 y - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 8.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Bước 8.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 y \cdot - 1$ và $1 (2 y)$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.3.2

Cộng $- 1 \cdot 2 y$ và $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.3.3

Cộng $2 y (2 y)$ và $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.4.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.4.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.4.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Bước 8.4.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Bước 9

Cho tử bằng không.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Bước 10

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 10.2

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = - 2$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.2.2

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Bước 10.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Bước 10.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.2.2

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.4.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Bước 10.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Bước 10.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Bước 10.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.2.2

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.3

Cộng $4$ và $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Bước 10.5.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Bước 10.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Bước 10.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Bước 10.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Dạng thập phân:

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$