Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{6} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Bước 1

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} - 7 = 0$

Bước 2

Giả sử $u = x^{3}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{3}$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Bước 3

Phân tích $u^{2} - 6 u - 7$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 7$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 7, 1$

Bước 3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1) = 0$

Bước 5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$(x^{3} - 7) (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Bước 6

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Bước 7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Bước 7.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(x^{3} - 7) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Bước 7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Bước 8

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 9

Đặt $x^{3} - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $x^{3} - 7$ bằng với $0$ .

$x^{3} - 7 = 0$

Bước 9.2

Giải $x^{3} - 7 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = 7$

Bước 9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{7}$

Bước 10

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 10.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 11

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 11.2

Giải $x^{2} - x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 11.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 12

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x^{3} - 7) (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ đúng.

$x = \sqrt[3]{7}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$