Giải tích sơ cấp Ví dụ

$3 x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0 = 12$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn $3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Bước 1.2.1.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Bước 1.2.1.1.3

Nhân $- 30$ với $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 + 0 = 12$

Bước 1.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} - 12 x + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Cộng $3 x^{2} - 12 x$ và $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 = 12$

Bước 1.2.1.2.2

Cộng $3 x^{2} - 12 x$ và $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 12$

Bước 1.2.2

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

Bước 1.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 12 x - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 12 = 0$

Bước 1.2.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Bước 1.2.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Bước 1.2.3.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Bước 1.2.3.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$

Bước 1.2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Chia $x^{2} - 4 x - 4$ cho $1$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Bước 1.2.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.3

Cộng $16$ và $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.7.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.3

Cộng $16$ và $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.8.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.9

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.3

Cộng $16$ và $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.4

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.9.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.2.9.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.9.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + 2 \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2}$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

$3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn $3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2.1.1.3

Nhân $- 12$ với $0$ .

$0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2.1.2.2

Cộng $0$ và $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 30 y = 12$

Bước 2.2.2

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} - 30 y - 12 = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} - 30 y - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2}$ .

$3 (y^{2}) - 30 y - 12 = 0$

Bước 2.2.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 30 y$ .

$3 (y^{2}) + 3 (- 10 y) - 12 = 0$

Bước 2.2.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$3 y^{2} + 3 (- 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Bước 2.2.3.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 y^{2} + 3 (- 10 y)$ .

$3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Bước 2.2.3.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4$ .

$3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$

Bước 2.2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 2.2.4.2.1.2

Chia $y^{2} - 10 y - 4$ cho $1$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = \frac{0}{3}$

Bước 2.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = 0$

Bước 2.2.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 10$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.3

Cộng $100$ và $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.4

Viết lại $116$ ở dạng $2^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Bước 2.2.7.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Bước 2.2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.3

Cộng $100$ và $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.4

Viết lại $116$ ở dạng $2^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Bước 2.2.8.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Bước 2.2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = 5 + \sqrt{29}$

Bước 2.2.9

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.3

Cộng $100$ và $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.4

Viết lại $116$ ở dạng $2^{2} \cdot 29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.2.9.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Bước 2.2.9.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Bước 2.2.9.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = 5 - \sqrt{29}$

Bước 2.2.10

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 5 + \sqrt{29}, 5 - \sqrt{29}$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Bước 4