Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = \frac{1}{2}$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Bước 4.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Bước 4.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Bước 4.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + 2 - 1$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 1$ và $2$ .

$1 - 1$

Bước 4.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - \frac{1}{2}$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(- 4)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 4)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(- 2)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(2)$ với số chia $(\frac{1}{2})$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Bước 6.7

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$(- 4) x + 2$

Bước 6.8

Rút gọn đa thức thương.

$- 4 x + 2$

Bước 7

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Bước 7.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Bước 7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Bước 8

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Bước 8.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Bước 8.1.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 8.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 8.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Bước 8.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Bước 8.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Bước 8.2.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Bước 8.2.4

Viết lại đa thức này.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 8.2.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 2 x$ và $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Bước 9

Chia mỗi số hạng trong $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.2.2

Chia ${(2 x - 1)}^{2}$ cho $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Bước 10

Đặt $2 x - 1$ bằng $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Bước 11

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 11.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 11.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 11.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 12