Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(1)}^{5} + 3 {(1)}^{4} - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 1$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 {(1)}^{4} - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 \cdot 1 - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 - 9 {(1)}^{3} - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 - 9 \cdot 1 - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4.1.5

Nhân $- 9$ với $1$ .

$1 + 3 - 9 - 31 {(1)}^{2} + 36$

Bước 4.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 3 - 9 - 31 \cdot 1 + 36$

Bước 4.1.7

Nhân $- 31$ với $1$ .

$1 + 3 - 9 - 31 + 36$

$1 + 3 - 9 - 31 + 36$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ và $3$ .

$4 - 9 - 31 + 36$

Bước 4.2.2

Trừ $9$ khỏi $4$ .

$- 5 - 31 + 36$

Bước 4.2.3

Trừ $31$ khỏi $- 5$ .

$- 36 + 36$

Bước 4.2.4

Cộng $- 36$ và $36$ .

$0$

$0$

$0$

Bước 5

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36}{x - 1}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$
	$1$	$4$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(4)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 9)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$- 5$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 5)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(- 5)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 31)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$
	$1$	$4$	$- 5$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 36)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(- 36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$

Bước 6.11

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 36)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(- 36)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(36)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$

Bước 6.12

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$3$	$- 9$	$- 31$	$0$	$36$
		$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$
	$1$	$4$	$- 5$	$- 36$	$- 36$	$0$

Bước 6.13

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} + - 36 x - 36$

Bước 6.14

Rút gọn đa thức thương.

$x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$

$x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 36 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.2.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.2.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36 = 0$

Bước 7.1.6

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 5 u - 36 = 0$

Bước 7.1.7

Phân tích $u^{2} - 5 u - 36$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 36$ và tổng của chúng là $- 5$ .

$- 9, 4$

Bước 7.1.7.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 4) = 0$

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 4) = 0$

Bước 7.1.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.9

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.10

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.11

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.1

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.11.2

Đưa $(x + 3) (x - 3)$ ra ngoài $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} + 4) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.12

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} + 4) = 0$

Bước 7.1.13

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.13.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 4 u + 4) = 0$

Bước 7.1.13.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 4 u + 2^{2}) = 0$

Bước 7.1.13.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Bước 7.1.13.4

Viết lại đa thức này.

$(x + 3) (x - 3) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Bước 7.1.13.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 2$ .

$(x + 3) (x - 3) {(u + 2)}^{2} = 0$

$(x + 3) (x - 3) {(u + 2)}^{2} = 0$

Bước 7.1.14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$(x + 3) (x - 3) {(x + 2)}^{2} = 0$

$(x + 3) (x - 3) {(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 7.3

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 7.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

$x = - 3$

Bước 7.4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 7.4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

$x = 3$

Bước 7.5

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 7.5.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 7.5.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

$x = - 2$

$x = - 2$

Bước 7.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (x - 3) {(x + 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 3, 3, - 2$

$x = - 3, 3, - 2$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x - 1) (x + 3) (x - 3) (x + 2)$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$ .

$x = 1, - 3, 3, - 2$

Bước 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$