Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{3}{x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{3}{x^{2}}$ với $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.1

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.4

Trừ $h$ khỏi $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.3.5

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.4.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.5.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $- 3 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Bước 4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Bước 5