Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{8 x}{x - 4}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{8 y}{y - 4}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 4$ .

$(y - 4) (x) = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 4 x = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - 4 x = \frac{8 y}{y - 4} (y - 4)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - 4 x = 8 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $8 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 4 x - 8 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $4 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 8 y = 4 x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 8 y = 4 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 8 y$ .

$y (x) + y \cdot - 8 = 4 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 8$ .

$y (x - 8) = 4 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 8) = 4 x$ cho $x - 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 8) = 4 x$ cho $x - 8$ .

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 x}{x - 8}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{(\frac{8 x}{x - 4}) - 8}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $\frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) - 8}$

Bước 5.2.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) + 4 \cdot - 2}$

Bước 5.2.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \frac{2 x}{x - 4} + 4 (- 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Bước 5.2.3.5

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{\frac{8 x}{x - 4}}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Bước 5.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2 \cdot \frac{x - 4}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} + \frac{- 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4

Viết lại $\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2 (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (x - 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 4))}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- (x - 4))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - (x - 4))}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 4)}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.4.5

Cộng $0$ và $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{x - 4}}$

Bước 5.2.5.5

Nhân $2$ với $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{8}{x - 4}}$

Bước 5.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot (1 (\frac{x - 4}{8}))$

Bước 5.2.7

Nhân $\frac{x - 4}{8}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 (x)}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Bước 5.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Bước 5.2.8.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Bước 5.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{4 x}{x - 8})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (\frac{4 x}{x - 8})}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Bước 5.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $(\frac{4 x}{x - 8}) - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 (\frac{4 x}{x - 8})$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) - 4}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) + 4 (- 1)}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \frac{x}{x - 8} + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Bước 5.3.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Bước 5.3.3.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 8})}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - (x - 8)}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 8)}{x - 8}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{0 + 8}{x - 8}}$

Bước 5.3.4.4.4

Cộng $0$ và $8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Bước 5.3.5

Nhân $2$ với $4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Bước 5.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (x)}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Bước 5.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Bước 5.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Bước 5.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$