Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$0$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 0$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Bước 4.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Bước 4.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Bước 4.1.4

Nhân $- 42$ với $0$ .

$0 + 0 + 0$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 5

Vì $0$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 0$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 42)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(0)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Bước 7

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} + x^{2} - 42 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Bước 7.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Bước 7.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 42 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Bước 7.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Bước 7.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Bước 8

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Phân tích $x^{2} + x - 42$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 42$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 6, 7$

Bước 8.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Bước 8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Bước 9

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Bước 9.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Bước 9.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 42 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Bước 9.1.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Bước 9.1.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ .

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Bước 9.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Phân tích $x^{2} + x - 42$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

$- 6, 7$

Bước 9.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Bước 9.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Bước 10

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Bước 11

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 11.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 11.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 11.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 11.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 12

Đặt $x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt $x - 6$ bằng với $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 12.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 13

Đặt $x + 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $x + 7$ bằng với $0$ .

$x + 7 = 0$

Bước 13.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 7$

Bước 14

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ đúng.

$x = 0, 6, - 7$

Bước 15