Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{4} - 9 x^{2}$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$0$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(0)}^{4} - 9 {(0)}^{2}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 0$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2}$

Bước 4.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Bước 4.1.3

Nhân $- 9$ với $0$ .

$0 + 0$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 5

Vì $0$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 0$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{x + 0}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(0)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 9)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 9)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Bước 6.9

Nhân số mới nhất trong kết quả $(0)$ với số chia $(0)$ và đặt kết quả của $(0)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Bước 6.10

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Bước 6.11

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 9) x + 0$

Bước 6.12

Rút gọn đa thức thương.

$x^{3} - 9 x$

Bước 7

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} - 9 x)$

Bước 7.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 9 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9)$

Bước 7.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 9))$

Bước 8

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 3^{2}))$

Bước 9

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$(x + 0) (x ((x + 3) (x - 3)))$

Bước 9.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 0) (x (x + 3) (x - 3))$

Bước 10

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

Bước 10.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

Bước 10.3

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2} - 9 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$u \cdot u - 9 u = 0$

Bước 10.3.2

Đưa $u$ ra ngoài $- 9 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

Bước 10.3.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot u + u \cdot - 9$ .

$u (u - 9) = 0$

Bước 10.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Bước 11

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Bước 12

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 12.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 12.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 12.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 12.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 13

Đặt $x^{2} - 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt $x^{2} - 9$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Bước 13.2

Giải $x^{2} - 9 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 9$

Bước 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Bước 13.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Bước 13.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 3$

Bước 13.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 3$

Bước 13.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 3$

Bước 13.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 3, - 3$

Bước 14

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ đúng.

$x = 0, 3, - 3$

Bước 15