Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 7$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = - 7$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $3$ .

$- 343 + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

Bước 4.1.2

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$- 343 + 14 \cdot 49 + 48 (- 7) - 7$

Bước 4.1.3

Nhân $14$ với $49$ .

$- 343 + 686 + 48 (- 7) - 7$

Bước 4.1.4

Nhân $48$ với $- 7$ .

$- 343 + 686 - 336 - 7$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 343$ và $686$ .

$343 - 336 - 7$

Bước 4.2.2

Trừ $336$ khỏi $343$ .

$7 - 7$

Bước 4.2.3

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$0$

Bước 5

Vì $- 7$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 7$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7}{x + 7}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

	$1$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(- 7)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(14)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$	$7$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(7)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(- 49)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(48)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$	$- 1$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(- 1)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(7)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 7)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + 7 x - 1$

Bước 6.10

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} + 7 x - 1$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 7$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.1.3

Cộng $49$ và $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.1.3

Cộng $49$ và $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.4.4

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{53})}{2}$

Bước 7.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{53})}{2}$

Bước 7.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.1.3

Cộng $49$ và $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.5.4

Viết lại $- 7$ ở dạng $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{53})}{2}$

Bước 7.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (7) - (\sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{53})}{2}$

Bước 7.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x + 7) (x + \frac{7 - \sqrt{53}}{2}) (x + \frac{7 + \sqrt{53}}{2})$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$ .

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

Dạng thập phân:

$x = - 7, 0.14005494 \dots, - 7.14005494 \dots$

Bước 11