Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Bước 1

Viết lại $4 a^{2} c^{2}$ ở dạng ${(2 a c)}^{2}$ .

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Bước 2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 a c$ và $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.1.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.1.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Bước 3.1.2.3

Viết lại đa thức này.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.1.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = a$ và $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.1.3

Sắp xếp lại $- b^{2}$ và ${(a + c)}^{2}$ .

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = a + c$ và $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Bước 3.3

Nhân $- - b^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Bước 3.3.2

Nhân $b^{2}$ với $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Bước 3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Bước 3.4.1.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Bước 3.4.1.3

Giả sử $u = a c$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Bước 3.4.1.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 u - a^{2} - c^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Di chuyển $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Bước 3.4.1.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- a^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Bước 3.4.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- c^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Bước 3.4.1.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Bước 3.4.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a^{2}) - (c^{2})$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Bước 3.4.1.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Bước 3.4.1.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Bước 3.4.1.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Bước 3.4.1.7

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Bước 3.4.1.7.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Bước 3.4.1.7.3

Viết lại đa thức này.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Bước 3.4.1.7.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = a$ và $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Bước 3.4.1.8

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = b$ và $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Bước 3.4.1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Bước 3.4.1.9.2

Nhân $- - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.9.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Bước 3.4.1.9.2.2

Nhân $c$ với $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Bước 3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$