Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Bước 1

Tìm các hoành độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm (các) hoành độ gốc, thay vào $0$ cho $y$ và giải tìm $x$ .

$0 = 3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$

Bước 1.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

$3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Bước 1.2.2.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Bước 1.2.2.3

Thay $- 0.\overline{3}$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 0.\overline{3}$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Thay $- 0.\overline{3}$ vào đa thức.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.2

Nâng $- 0.\overline{3}$ lên lũy thừa $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{037} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.3

Nhân $3$ với $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{1} + 4 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.4

Nâng $- 0.\overline{3}$ lên lũy thừa $2$ .

$- 0.\overline{1} + 4 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.5

Nhân $4$ với $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{1} + 0.\overline{4} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.6

Cộng $- 0.\overline{1}$ và $0.\overline{4}$ .

$0.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.7

Nhân $4$ với $- 0.\overline{3}$ .

$0.\overline{3} - 1.\overline{3} + 1$

Bước 1.2.2.3.8

Trừ $1.\overline{3}$ khỏi $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 1$

Bước 1.2.2.3.9

Cộng $- 1$ và $1$ .

$0$

Bước 1.2.2.4

Vì $- 0.\overline{3}$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $3 x + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 1}$

Bước 1.2.2.5

Chia $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ cho $3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$1$

Bước 1.2.2.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $3 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Bước 1.2.2.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 1.2.2.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $3 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 1.2.2.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Bước 1.2.2.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Bước 1.2.2.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $3 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$

Bước 1.2.2.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Bước 1.2.2.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Bước 1.2.2.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Bước 1.2.2.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Bước 1.2.2.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $3 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$

Bước 1.2.2.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Bước 1.2.2.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $3 x + 1$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Bước 1.2.2.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	+	$1$
							-	$3 x$	-	$1$
										$0$

Bước 1.2.2.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + x + 1$

Bước 1.2.2.6

Viết $3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $3 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $3 x + 1$ bằng với $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $3 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 1$

Bước 1.2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Bước 1.2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Bước 1.2.4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Bước 1.2.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{3}$

Bước 1.2.5

Đặt $x^{2} + x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x^{2} + x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Bước 1.2.5.2

Giải $x^{2} + x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.5.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.5.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.5.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.5.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ đúng.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.3

(các) hoành độ gốc ở dạng điểm.

(các) hoành độ gốc: $(- \frac{1}{3}, 0)$

Bước 2

Tìm các tung độ gốc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm (các) tung độ gốc, thay vào $0$ cho $x$ và giải tìm $y$ .

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.4

Rút gọn $3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.4.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.4.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.4.1.4

Nhân $4$ với $0$ .

$y = 0 + 0 + 4 (0) + 1$

Bước 2.2.4.1.5

Nhân $4$ với $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 1$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Bước 2.2.4.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0 + 1$

Bước 2.2.4.2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$y = 1$

Bước 2.3

(các) tung độ gốc ở dạng điểm.

(các) tung độ gốc: $(0, 1)$

Bước 3

Liệt kê các phần giao.

(các) hoành độ gốc: $(- \frac{1}{3}, 0)$

(các) tung độ gốc: $(0, 1)$

Bước 4