Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \log_{3} (3 x)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{3} (3 y)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{3} (3 y) = x$ .

$\log_{3} (3 y) = x$

Bước 2.2

Viết lại $\log_{3} (3 y) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 y$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 y = 3^{x}$ .

$3 y = 3^{x}$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y = 3^{x}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = 3^{x}$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Bước 2.3.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{3}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{x}$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{x}$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

Bước 2.3.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

Bước 2.3.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

Bước 2.3.2.3.1.2.4

Chia $3^{x - 1}$ cho $1$ .

$y = 3^{x - 1}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{3} (3 x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

Bước 4.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (3^{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

Bước 4.3.3

Viết lại $\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ ở dạng $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

Bước 4.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 1$ ra khỏi số mũ.

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

Bước 4.3.5

Logarit cơ số $3$ của $3$ là $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

Bước 4.3.6

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

Bước 4.3.7

Logarit cơ số $3$ của $3$ là $1$ .

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Bước 4.3.8

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

Bước 4.3.8.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (3^{x - 1}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$