Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ ở dạng ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

Bước 2.2.2.1.2

Rút gọn.

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} = - 8$

Bước 2.3.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} + 8 = 0$

Bước 2.3.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Bước 2.3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Bước 2.3.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Bước 2.3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Bước 2.3.5

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 2.3.5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 2.3.6

Đặt $x^{2} - 2 x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Đặt $x^{2} - 2 x + 4$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Bước 2.3.6.2

Giải $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.3.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.3.6.2.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.3.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.3.6.2.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.3.6.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Bước 2.3.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.3.6.2.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Bước 2.3.6.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Bước 2.3.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Bước 2.3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ đúng.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 2}$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \neq 5}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

Bước 6