Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{8 x^{2} + 26 x + 15}{2 x^{2} - x - 15}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{8 x^{2} + 26 x + 15}{2 x^{2} - x - 15}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 x^{2} - x - 15 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 15 = 0$

Bước 2.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $5$ cộng $- 6$

$2 x^{2} + (5 - 6) x - 15 = 0$

Bước 2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 = 0$

Bước 2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(2 x^{2} + 5 x) - 6 x - 15 = 0$

Bước 2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) = 0$

Bước 2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x - 3) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 2.3

Đặt $2 x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $2 x + 5$ bằng với $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Bước 2.3.2

Giải $2 x + 5 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 5$

Bước 2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 5$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Bước 2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Bước 2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{5}{2}$

Bước 2.4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x + 5) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = - \frac{5}{2}, 3$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - \frac{5}{2}, 3}$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \frac{14}{11}) \cup (\frac{14}{11}, 4) \cup (4, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \neq \frac{14}{11}, 4}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - \frac{5}{2}, 3}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, \frac{14}{11}) \cup (\frac{14}{11}, 4) \cup (4, \infty), {y | y \neq \frac{14}{11}, 4}$

Bước 6