Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} + x + 16 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 16$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.3

Trừ $64$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.4

Viết lại $- 63$ ở dạng $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (63)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.7

Viết lại $63$ ở dạng $3^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.3

Trừ $64$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.4

Viết lại $- 63$ ở dạng $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (63)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.7

Viết lại $63$ ở dạng $3^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Bước 2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Bước 2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.3

Trừ $64$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.4

Viết lại $- 63$ ở dạng $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (63)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.7

Viết lại $63$ ở dạng $3^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Bước 2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Bước 2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Khoảng biến thiên: $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Bước 6