Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $(3 y - 1) (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Bước 3.2.1.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 y x - x = 2 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y x - 2 y = x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $3 y x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (3 x - 2) = x$ cho $3 x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (3 x - 2) = x$ cho $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Bước 5.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Bước 5.2.4.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Bước 5.2.4.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5

Viết lại $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x - 2 (3 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.5

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.5.6

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.4.6

Nhân $2$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Bước 5.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Bước 5.2.6

Nhân $\frac{3 x - 1}{2}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Bước 5.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Bước 5.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Bước 5.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x}{3 x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Bước 5.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Bước 5.3.4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.4

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.4.5.5

Cộng $0$ và $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $3 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$