Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} - 1 = 2 x$

Bước 3.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{3} = 2 x + 1$

Bước 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

Bước 5.2.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

Bước 5.2.3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

Bước 5.2.5

Khai triển $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot 1$ và $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.1.2

Trừ $1 x$ khỏi $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.1.3

Cộng $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2.3

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Bước 5.2.6.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

Bước 5.2.6.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

Bước 5.2.6.3.1.2

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

Bước 5.2.6.3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Bước 5.2.6.3.2.2

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Bước 5.2.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

Bước 5.3.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ và $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Viết lại ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Bước 5.3.3.3.2

Nhân $\sqrt[3]{2 x + 1}$ với $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

Bước 5.3.3.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$