Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{\sqrt{y + 7}}{4}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $4$ .

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{y + 7} = 4 x$

Bước 3.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y + 7}$ ở dạng ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 7)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5.2.1.2

Rút gọn.

$y + 7 = {(4 x)}^{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn ${(4 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$y + 7 = 4^{2} x^{2}$

Bước 3.5.3.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y + 7 = 16 x^{2}$

Bước 3.6

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 16 x^{2} - 7$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 {(\frac{\sqrt{x + 7}}{4})}^{2} - 7$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{\sqrt{x + 7}}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2

Viết lại ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ ở dạng $x + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 7}$ ở dạng ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.2.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Bước 5.2.3.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Bước 5.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Bước 5.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 7 - 7$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 7 - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (16 x^{2} - 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{(16 x^{2} - 7) + 7}}{4}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2} + 0}}{4}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $16 x^{2}$ và $0$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2}}}{4}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $16 x^{2}$ ở dạng ${(4 x)}^{2}$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{{(4 x)}^{2}}}{4}$

Bước 5.3.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (16 x^{2} - 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$