Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(x - 7)}^{3} + 4$

Bước 1

Viết $f (x) = {(x - 7)}^{3} + 4$ ở dạng một phương trình.

$y = {(x - 7)}^{3} + 4$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(y - 7)}^{3} + 4$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(y - 7)}^{3} + 4 = x$ .

${(y - 7)}^{3} + 4 = x$

Bước 3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(y - 7)}^{3} = x - 4$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 7 = \sqrt[3]{x - 4}$

Bước 3.4

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt[3]{x - 4} + 7$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4} + 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4} + 7$ có là hàm ngược của $f (x) = {(x - 7)}^{3} + 4$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = \sqrt[3]{({(x - 7)}^{3} + 4) - 4} + 7$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt[3]{({(x - 7)}^{3} + 4) - 4} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = \sqrt[3]{{(x - 7)}^{3} + 0} + 7$

Bước 5.2.3.2

Cộng ${(x - 7)}^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = \sqrt[3]{{(x - 7)}^{3}} + 7$

Bước 5.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = x - 7 + 7$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 7 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 7)}^{3} + 4) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\sqrt[3]{x - 4} + 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {((\sqrt[3]{x - 4} + 7) - 7)}^{3} + 4$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong ${((\sqrt[3]{x - 4} + 7) - 7)}^{3} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {(\sqrt[3]{x - 4} + 0)}^{3} + 4$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\sqrt[3]{x - 4}$ và $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {\sqrt[3]{x - 4}}^{3} + 4$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x - 4}}^{3}$ ở dạng $x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 4}$ ở dạng ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 4$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 4$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = (x - 4) + 4$

Bước 5.3.4.5

Rút gọn.

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = x - 4 + 4$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 4 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4} + 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4} + 7$ là hàm ngược của $f (x) = {(x - 7)}^{3} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4} + 7$