Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Bước 3.2

Nhân chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân chéo bằng cách đặt tích của tử số ở vế phải và mẫu số ở vế trái bằng với tích của tử số ở vế trái và mẫu số ở vế phải.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nhân $x$ với $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{8 - y}$ ở dạng ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.3

Rút gọn.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.5

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.5.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Bước 3.4.2.1.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Trừ $8 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ cho $- x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ cho $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Bước 3.5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Bước 3.5.2.3.1.2.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Bước 3.5.2.3.1.3

Viết lại $- 1 \cdot - 8$ ở dạng $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Bước 3.5.2.3.1.4

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3

Viết lại ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ ở dạng $8 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{8 - x}$ ở dạng ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Bước 5.2.3.1.3.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Bước 5.2.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Bước 5.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Bước 5.2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Bước 5.2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Bước 5.2.3.5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Bước 5.2.3.6

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Bước 5.2.3.6.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 8 + x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 8$ và $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 36 + 8 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.4

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6

Viết lại $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.3

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.5

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.6.6

Cộng $0$ và $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.7

Nhân $4$ với $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.8

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 5.3.3.9

Viết lại $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Bước 5.3.3.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Bước 5.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$