Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Bước 1

Viết $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ ở dạng một phương trình.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{6 y - 3} = x$ .

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Bước 3.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 y - 3}$ ở dạng ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn.

$6 y - 3 = x^{2}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 y = x^{2} + 3$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $6 y = x^{2} + 3$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $6 y = x^{2} + 3$ cho $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Bước 3.4.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 3.4.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 3.4.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2

Viết lại ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ ở dạng $3 (2 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ ở dạng ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.2.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.4

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.6

Đưa $3$ ra ngoài $6 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.1.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Bước 5.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Bước 5.3.7

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Bước 5.3.7.2

Cộng $\frac{x^{2}}{3}$ và $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Bước 5.3.8

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3.9

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1

Rút gọn biểu thức $\frac{3 x^{2}}{3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Bước 5.3.9.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Bước 5.3.9.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Bước 5.3.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$