Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \log_{2} (x + 3)$

Bước 1

Viết $f (x) = \log_{2} (x + 3)$ ở dạng một phương trình.

$y = \log_{2} (x + 3)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{2} (y + 3)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{2} (y + 3) = x$ .

$\log_{2} (y + 3) = x$

Bước 3.2

Viết lại $\log_{2} (y + 3) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 3$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + 3 = 2^{x}$ .

$y + 3 = 2^{x}$

Bước 3.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 2^{x} - 3$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 3$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 3$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (x + 3)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{2} (x + 3))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 3)) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

Bước 5.2.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 3)) = x + 3 - 3$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 3)) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 3)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (2^{x} - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (2^{x} - 3) = \log_{2} ((2^{x} - 3) + 3)$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(2^{x} - 3) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f (2^{x} - 3) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Bước 5.3.3.2

Cộng $2^{x}$ và $0$ .

$f (2^{x} - 3) = \log_{2} (2^{x})$

Bước 5.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (2^{x} - 3) = x \log_{2} (2)$

Bước 5.3.5

Logarit cơ số $2$ của $2$ là $1$ .

$f (2^{x} - 3) = x \cdot 1$

Bước 5.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f (2^{x} - 3) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 3$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{2} (x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 3$