Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = e^{x - 2}$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{x - 2}$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{x - 2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{y - 2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{y - 2} = x$ .

$e^{y - 2} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln (e^{y - 2})$ bằng cách di chuyển $y - 2$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Nhân $y - 2$ với $1$ .

$y - 2 = \ln (x)$

Bước 3.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (x) + 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{x - 2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 2$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Bước 5.2.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Bước 5.2.3.3

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (x) + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (x) + 2) = e^{(\ln (x) + 2) - 2}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(\ln (x) + 2) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\ln (x) + 2) = e^{\ln (x) + 0}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\ln (x)$ và $0$ .

$f (\ln (x) + 2) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.3.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (x) + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$ là hàm ngược của $f (x) = e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 2$