Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 \log_{3} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = 4 \log_{3} (x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 4 \log_{3} (y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \log_{3} (y) = x$ .

$4 \log_{3} (y) = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \log_{3} (y) = x$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \log_{3} (y) = x$ cho $4$ .

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $\log_{3} (y)$ cho $1$ .

$\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$

Bước 3.3

Viết lại $\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$3^{\frac{x}{4}} = y$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng $y = 3^{\frac{x}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{x}{4}}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ có là hàm ngược của $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (4 \log_{3} (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Bước 5.2.3.2

Chia $\log_{3} (x)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\log_{3} (x)}$

Bước 5.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (3^{\frac{x}{4}})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 \log_{3} (3^{\frac{x}{4}})$

Bước 5.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{x}{4}$ ra khỏi số mũ.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot \log_{3} (3))$

Bước 5.3.4

Logarit cơ số $3$ của $3$ là $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot 1)$

Bước 5.3.5

Nhân $\frac{x}{4}$ với $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ là hàm ngược của $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$