Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Bước 1

Viết $f (x) = \ln (3 x) - 2$ ở dạng một phương trình.

$y = \ln (3 x) - 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (3 y) - 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

Bước 3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (3 y) = x + 2$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (3 y) = x + 2$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 y = e^{x + 2}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y = e^{x + 2}$ cho $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Bước 3.5.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln (3 x) - 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Bước 5.2.3.1.2

Cộng $\ln (3 x)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Bước 5.2.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Bước 5.3.3.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x + 2$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Bước 5.3.3.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Bước 5.3.3.4

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ là hàm ngược của $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$