Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \ln (x - 2) + 1$

Bước 1

Viết $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ ở dạng một phương trình.

$y = \ln (x - 2) + 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (y - 2) + 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (y - 2) + 1 = x$ .

$\ln (y - 2) + 1 = x$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (y - 2) = x - 1$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x - 1}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (y - 2) = x - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x - 1} = y - 2$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $y - 2 = e^{x - 1}$ .

$y - 2 = e^{x - 1}$

Bước 3.5.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = e^{x - 1} + 2$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{(\ln (x - 2) + 1) - 1} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2) + 0} + 2$

Bước 5.2.3.2

Cộng $\ln (x - 2)$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Bước 5.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x - 2 + 2$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2) + 1) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (e^{x - 1} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln ((e^{x - 1} + 2) - 2) + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1} + 0) + 1$

Bước 5.3.3.2

Cộng $e^{x - 1}$ và $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 1$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Bước 5.3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Bước 5.3.4.3

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x - 1 + 1$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (e^{x - 1} + 2) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$ là hàm ngược của $f (x) = \ln (x - 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 1} + 2$