Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \ln (x + 7)$

Bước 1

Viết $f (x) = \ln (x + 7)$ ở dạng một phương trình.

$y = \ln (x + 7)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (y + 7)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (y + 7) = x$ .

$\ln (y + 7) = x$

Bước 3.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y + 7)} = e^{x}$

Bước 3.3

Viết lại $\ln (y + 7) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y + 7$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $y + 7 = e^{x}$ .

$y + 7 = e^{x}$

Bước 3.4.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = e^{x} - 7$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln (x + 7)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln (x + 7))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = e^{\ln (x + 7)} - 7$

Bước 5.2.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x + 7 - 7$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 7 - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 7)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (e^{x} - 7)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln ((e^{x} - 7) + 7)$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(e^{x} - 7) + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Cộng $- 7$ và $7$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln (e^{x} + 0)$

Bước 5.3.3.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$f (e^{x} - 7) = \ln (e^{x})$

Bước 5.3.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (e^{x} - 7) = x \ln (e)$

Bước 5.3.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (e^{x} - 7) = x \cdot 1$

Bước 5.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f (e^{x} - 7) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$ là hàm ngược của $f (x) = \ln (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 7$