Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$

Bước 1

Viết $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ ở dạng một phương trình.

$y = 6 + \sqrt[3]{x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 6 + \sqrt[3]{y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $6 + \sqrt[3]{y} = x$ .

$6 + \sqrt[3]{y} = x$

Bước 3.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt[3]{y} = x - 6$

Bước 3.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4.2.1.2

Rút gọn.

$y = {(x - 6)}^{3}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn ${(x - 6)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 6 + 3 x {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.2.1

Nhân $- 6$ với $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 3 x {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.2

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 3 x \cdot 36 + {(- 6)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.3

Nhân $36$ với $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x + {(- 6)}^{3}$

Bước 3.4.3.1.2.4

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$ có là hàm ngược của $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = {(6 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 3 \cdot (36 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.3

Nhân $3$ với $36$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.4

Nhân $3$ với $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.2.6.5

Rút gọn.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.3

Viết lại ${(6 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ ở dạng $(6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 ((6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.4

Khai triển $(6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 (6 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 6 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1.1

Nhân $6$ với $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 6 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.1.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.1.3

Nhân $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1.3.1

Nâng $\sqrt[3]{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.1.3.3

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.1.4

Viết lại ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.5.2

Cộng $6 \sqrt[3]{x}$ và $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 12 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 \cdot 36 - 18 (12 \sqrt[3]{x}) - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.7.1

Nhân $- 18$ với $36$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 18 (12 \sqrt[3]{x}) - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.7.2

Nhân $12$ với $- 18$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Bước 5.2.3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \cdot 6 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.3.9

Nhân $108$ với $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.4

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1.1

Trừ $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ khỏi $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.4.1.2

Cộng $216 + 108 \sqrt[3]{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.4.1.3

Cộng $- 648$ và $648$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.4.1.4

Cộng $216 + 108 \sqrt[3]{x} + x$ và $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Bước 5.2.4.1.5

Trừ $216$ khỏi $216$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Bước 5.2.4.1.6

Cộng $0$ và $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Bước 5.2.4.2

Trừ $216 \sqrt[3]{x}$ khỏi $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Cộng $- 108 \sqrt[3]{x}$ và $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Bước 5.2.4.3.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Làm cho mỗi số hạng khớp với các số hạng từ công thức của định lý nhị thức.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (6 x^{2}) + 3 \cdot (6^{2} x) - 1 \cdot 6^{3}}$

Bước 5.3.3.2

Phân tích $x^{3} - 3 \cdot 6 x^{2} + 3 \cdot 6^{2} x - 1 \cdot 6^{3}$ thành thừa số bằng định lý nhị thức.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}}$

Bước 5.3.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + x - 6$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 + x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$ là hàm ngược của $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$