Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ .

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Bước 3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Bước 3.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y - 1, 1, 1$

Bước 3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y - 1, 1, 1$

Bước 3.3.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$y - 1$

Bước 3.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ với $y - 1$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ với $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Bước 3.4.3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Bước 3.4.3.1.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Bước 3.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x y - x - 2 y + 2 = 3$ .

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Bước 3.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Bước 3.5.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Bước 3.5.2.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Bước 3.5.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$y x - 2 y = x + 1$

Bước 3.5.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Bước 3.5.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = x + 1$

Bước 3.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = x + 1$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = x + 1$ cho $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Bước 3.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Bước 3.5.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Bước 3.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Bước 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Bước 5.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.5

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Sắp xếp lại $x - 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6.2

Cộng $2 \cdot (x - 1)$ và $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 + 3 \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.6.5

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.7.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Bước 5.2.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Bước 5.2.7.5

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Bước 5.2.7.6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Bước 5.2.7.7

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Bước 5.2.7.8

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Bước 5.2.7.9

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Bước 5.2.7.10

Cộng $1$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Bước 5.2.8.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.4

Viết lại $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.1.4.5

Cộng $1$ và $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Bước 5.3.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Bước 5.3.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$