Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $2$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Bước 3.3.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

Bước 3.3.1.1.2

Sắp xếp lại $3$ và $- 8 y^{3}$ .

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

Bước 3.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ cho $- 8$ .

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

Bước 3.4.2.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

Bước 3.4.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

Bước 3.4.4

Rút gọn $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Để viết $- \frac{x}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

Bước 3.4.4.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Nhân $\frac{x}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

Bước 3.4.4.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

Bước 3.4.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

Bước 3.4.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

Bước 3.4.4.5

Viết lại $\frac{- 2 x + 3}{8}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.5.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{3}$ ra ngoài $- 2 x + 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

Bước 3.4.4.5.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{3}$ ra ngoài $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

Bước 3.4.4.5.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

Bước 3.4.4.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

Bước 3.4.4.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.4

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

Bước 5.2.3.5

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Bước 5.2.3.6

Cộng $8 x^{3}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3.7

Viết lại $8 x^{3}$ ở dạng ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Bước 5.2.3.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ ở dạng ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Bước 5.3.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Bước 5.3.3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Bước 5.3.3.3.2

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Bước 5.3.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

Bước 5.3.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Bước 5.3.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Bước 5.3.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

Bước 5.3.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

Bước 5.3.3.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

Bước 5.3.3.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

Bước 5.3.3.9

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 5.3.3.10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.3.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$