Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 2 x = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - 2 x = \frac{3 y + 1}{y - 2} (y - 2)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - 2 x = 3 y + 1$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $3 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 x - 3 y = 1$

Bước 3.4.2

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 3 y = 1 + 2 x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 3 y = 1 + 2 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 3 y$ .

$y (x) + y \cdot - 3 = 1 + 2 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = 1 + 2 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 3) = 1 + 2 x$ cho $x - 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 3) = 1 + 2 x$ cho $x - 3$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{(\frac{3 x + 1}{x - 2}) - 3}$

Bước 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $\frac{1 + 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$ với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3)}$

Bước 5.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) \cdot 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1) + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.1.2

Đưa $x - 2$ ra ngoài $(x - 2) (1) + (x - 2) (2 \frac{3 x + 1}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.2

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6

Viết lại $\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6.4

Cộng $x$ và $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6.5

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.6.6.6

Cộng $7 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Bước 5.2.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3}$

Bước 5.2.7.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3}$

Bước 5.2.7.3

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x + 6}$

Bước 5.2.7.4

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 1 + 6}$

Bước 5.2.7.5

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{1 + 6}$

Bước 5.2.7.6

Cộng $1$ và $6$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

Bước 5.2.8

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Đưa $\frac{7 x}{x - 2}$ ra ngoài $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Bước 5.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Bước 5.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Bước 5.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.2.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.2.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{1 + 2 x}{x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{(\frac{1 + 2 x}{x - 3}) - 2}$

Bước 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $\frac{3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$ với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$

Bước 5.3.3.2

Kết hợp.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2)}$

Bước 5.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + (x - 3) \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1.1

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.1.2

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) (1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.1.3

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) (3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) (1)$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x) + x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6

Viết lại $\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 6 x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6.4

Cộng $x$ và $6 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 3 - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6.5

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 0}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.6.6.6

Cộng $7 x$ và $0$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Bước 5.3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2}$

Bước 5.3.7.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2}$

Bước 5.3.7.3

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x + 6}$

Bước 5.3.7.4

Cộng $1$ và $6$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{2 x - 2 x + 7}$

Bước 5.3.7.5

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{0 + 7}$

Bước 5.3.7.6

Cộng $0$ và $7$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{7}$

Bước 5.3.8

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Đưa $\frac{7 x}{x - 3}$ ra ngoài $\frac{(x - 3) \frac{7 x}{x - 3}}{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Bước 5.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Bước 5.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Bước 5.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 5.3.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 5.3.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$