Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{2 x}{x - 6}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{2 y}{y - 6}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 6 x = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - 6 x = \frac{2 y}{y - 6} (y - 6)$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - 6 x = 2 y$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 6 x - 2 y = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $6 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 y = 6 x$

Bước 3.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 2 y = 6 x$

Bước 3.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 6 x$

Bước 3.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 6 x$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 6 x$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 6 x$ cho $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{6 x}{x - 2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{2 x}{x - 6})}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $(\frac{2 x}{x - 6}) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 (\frac{2 x}{x - 6})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) - 2}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) + 2 (- 1)}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \frac{x}{x - 6} + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Bước 5.2.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Bước 5.2.3.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 6})}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - (x - 6)}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.4

Viết lại $\frac{x - (x - 6)}{x - 6}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.4.2

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.4.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{0 + 6}{x - 6}}$

Bước 5.2.4.4.4

Cộng $0$ và $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Bước 5.2.5

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Bước 5.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Bước 5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Bước 5.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Bước 5.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Bước 5.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{6 x}{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{(\frac{6 x}{x - 2}) - 6}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{6 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) - 6}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) + 2 \cdot - 3}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \frac{3 x}{x - 2} + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Bước 5.3.3.5

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Bước 5.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Bước 5.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4

Viết lại $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x - 3 (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.4.5

Cộng $0$ và $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Bước 5.3.5.5

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{x - 2}}$

Bước 5.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot (1 (\frac{x - 2}{6}))$

Bước 5.3.7

Nhân $\frac{x - 2}{6}$ với $1$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 5.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 5.3.8.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 5.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$