Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân phương trình với $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.3.1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Bước 3.3.1.1.3

Viết lại đa thức này.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.3.1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.3.1.2

Phân tích $y^{2} + y - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 1, 2$

Bước 3.3.1.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Bước 3.3.1.3

Nhân $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ với $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Bước 3.3.1.4

Phân tích $y^{2} + y - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

$- 1, 2$

Bước 3.3.1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Bước 3.3.1.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Bước 3.3.1.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Bước 3.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Bước 3.3.1.5.2.2

Chia ${(y + 1)}^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Bước 3.3.1.5.3

Viết lại ${(y + 1)}^{2}$ ở dạng $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Bước 3.3.1.6

Khai triển $(y + 1) (y + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Bước 3.3.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Bước 3.3.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Bước 3.3.1.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.7.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Bước 3.3.1.7.1.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Bước 3.3.1.7.1.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Bước 3.3.1.7.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Bước 3.3.1.7.2

Cộng $y$ và $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Bước 3.4.1.2

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Bước 3.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Bước 3.4.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.4.4

Thay các giá trị $a = x - 1$ , $b = x - 2$ , và $c = - 2 x - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.3

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.4

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.5.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.5.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.5.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.5.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.7

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.8

Khai triển $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.9.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.9.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.3

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.5

Nhân $- 2$ với $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.9.2

Trừ $8 x$ khỏi $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.10

Cộng $x^{2}$ và $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.11

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.12

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.13

Cộng $9 x^{2} - 8 x$ và $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.14

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.14.1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.14.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.5.14.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.3

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.7

Viết lại $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ ở dạng $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.3

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.4

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.5.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.5.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.5.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.5.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.7

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.8

Khai triển $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.9.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.9.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.3

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.5

Nhân $- 2$ với $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.9.2

Trừ $8 x$ khỏi $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.10

Cộng $x^{2}$ và $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.11

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.12

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.13

Cộng $9 x^{2} - 8 x$ và $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.14

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1.14.1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.14.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.1.14.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.2

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.4

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.8

Viết lại $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ ở dạng $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.7.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 3.4.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ và $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x (9 x - 8)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Bước 5.3.2.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.3.2.3

Đặt $9 x - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Đặt $9 x - 8$ bằng với $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Bước 5.3.2.3.2

Giải $9 x - 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x = 8$

Bước 5.3.2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 8$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 8$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Bước 5.3.2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Bước 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Bước 5.3.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (9 x - 8) \geq 0$ đúng.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Bước 5.3.2.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Bước 5.3.2.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 5.3.2.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Bước 5.3.2.6.1.3

Vế trái $52$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 5.3.2.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{8}{9}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{8}{9}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.44$

Bước 5.3.2.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.44$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Bước 5.3.2.6.2.3

Vế trái $- 1.7776$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 5.3.2.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{8}{9}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{8}{9}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 5.3.2.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Bước 5.3.2.6.3.3

Vế trái $57$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 5.3.2.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{8}{9}$ Sai

$x > \frac{8}{9}$ Đúng

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{8}{9}$ Sai

$x > \frac{8}{9}$ Đúng

Bước 5.3.2.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq 0$ hoặc $x \geq \frac{8}{9}$

Bước 5.3.3

Đặt mẫu số trong $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 (x - 1) = 0$

Bước 5.3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.3.4.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 5.3.4.1.2.1.2

Chia $x - 1$ cho $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 5.3.4.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x - 1 = 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5.3.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 5.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ không bằng khoảng biến thiên của $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ không phải là hàm ngược của $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Không có hàm ngược

Bước 6